《九章算术注》序

刘徽[1]

昔在庖牺氏始画八卦[2] ，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术[3] ，以合六爻之变[4] 。暨于黄帝神而化之[5] ，引而伸之，于是建历纪[6] ，协律吕[7] ，用稽道原[8] ，然后两仪四象精微之气可得而效焉[9] 。记称“隶首作数”[10] ，其详未之闻也。按：周公制礼而有九数[11] ，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书[12] ，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世[13] 。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

注释

[1] 　刘徽：魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，著有《九章算术注》和《海岛算经》。

[2] 　庖牺氏：又称伏羲，为“三皇”之首。他与女娲婚配而产生人类。他们同被尊为人类始祖。始：开始，最初。八卦：我国古代的八种有象征意义的符号，组成《易》的基本图像。由阳爻和阴爻排列而成，每三根爻组成一卦，其名称为：☰（乾），☷（坤），☳（震），☴（巽），☵（坎），☲（离），☶（艮），☱（兑）。

[3] 　九九之术：即九九乘法法则。古时由“九九”自上而下，而至“一一”，故称“九九乘法”。

[4] 　六爻：为了表示更多的事物或现象，将八卦中的两卦按照一上一下的方式组合，构成“复卦”。复卦共有六个爻位，因此又称“六爻”。

[5] 　暨：至，到。黄帝：五帝之首，号轩辕氏。传说为中国远古时期华夏部落联盟的首领，华夏民族的始祖。

[6] 　历纪：历数纲纪。

[7] 　律吕：中国古代律制“十二律”，又名“正律”，简称“律吕”。

[8] 　稽：考核，计数。

[9] 　两仪：即阴、阳。四象：即太阴（水）、少阳（木）、少阴（金）、太阳（火）。

[10] 　隶首：黄帝史官，始作算数。后世以“隶首之学”指算学。

[11] 　周公：姓姬名旦，因封地在周，故称周公。西周初期杰出的政治家、军事家和思想家。礼：《周礼》，儒家经典。九数：指古代数学功课的九个细目。东汉的郑玄在他的《周礼注疏·地官司徒·保氏》中引郑司农（郑众）所言：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。”

[12] 　暴秦焚书：公元前213年，秦始皇接受丞相李斯的建议，下令除《秦纪》、医药、卜筮、种树之书外，其他如百家语、《诗》、《书》等书限期交官府烧毁。焚书事件对中华文化造成了极大的破坏。

[13] 　张苍：西汉丞相，曾校正《九章算术》，制定历法。大司农：汉代官名，负责掌管赋税、盐、铁、酒的制作专卖，漕运、调拨物资和国家财政。耿寿昌：西汉天文学家，理财家。汉宣帝时任大司农中丞，精通数学，修订《九章算术》。用铜铸造浑天仪观天象。著有《月行帛图》232卷，《月行度》2卷，今已佚。

译文

以前庖牺氏最先画出八卦，用来通达并获得天地神明的美好品质，模仿世间万物的情状。后来又作九九之术，来配合六爻的变化。直到黄帝神妙地将其变化引申，于是建立历法纲纪、调正音律，用来考察道的本原，而后两仪四象的精髓可以被获得并且效法。曾有记载说“隶首创立了算学”，但我没有听说过其中的详细情节。按：周公制定礼乐制度，其中有九数，九数后来发展成《九章算术》。过去残暴的秦始皇焚书，造成经术散坏。后来，汉代的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌都以擅长算学闻名于世。张苍等根据旧时的残缺遗文，进行删减补充。所以，它的目录与古代版本有些许不同，论述则多采用近代语言。

徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂[1] ，总算术之根源，探赜之暇[2] ，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归[3] ，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周[4] ，通而不黩[5] ，览之者思过半矣。且算在六艺[6] ，古者以宾兴贤能[7] ，教习国子[8] 。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。

注释

[1] 　阴阳：古人为了解释自然界中各种对立又相关联的大自然现象，如天地、日月、昼夜、寒暑、男女、上下等，归纳出“阴阳”的概念。割裂：区别。

[2] 　赜：幽深，玄妙。

[3] 　攸：所。归：归属。

[4] 　周：周密。

[5] 　黩：过多。

[6] 　六艺：古代儒家要求学生掌握的六种基本才能，即礼、乐、射、御、书、数。

[7] 　宾兴：周代举贤之法。谓乡大夫自乡小学荐举贤能而宾礼之，以升入国学。兴，兴举。

[8] 　国子：公卿大夫的子弟。

译文

我幼年时学习《九章算术》，年长后又详细钻研。观察事物的正反区别，总结了算数的根源，在探索这些幽深玄妙的道理之余，逐渐领悟到其中的思想。于是冒昧地竭尽愚钝，收集我见到的资料，为它作注释。事物之间可以相互类推，分别有各自的归属。所以枝条虽然分离却具有同一个主干，原因是它们发于同一开端。再加上用文辞分析数理，用图形解释立体，就会使它简明且周密，通顺且不烦琐，阅读的人可以懂得一半以上的内容。算学属于六艺之一，古代用来兴举贤能之人和教育贵族子弟。虽然称为九数，却可以尽到极小极微，探索到无穷无尽。至于流传下来的方法，就像规矩度量一样存在而有共性，所以学习它并非很困难的事情。目前喜爱算学的人很少，所以世上虽然有很多学识渊博的人，却未必对它精通。

《周官·大司徒》职[1] ，夏至日中立八尺之表[2] 。其景尺有五寸[3] ，谓之地中。说云，南戴日下万五千里[4] 。夫云尔者，以术推之。按：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也[5] 。凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之时。以景差为法[6] ，表高乘表间为实[7] ，实如法而一，所得加表高，即日去地也[8] 。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为勾、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美。辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏[9] ，靡所不入[10] 。博物君子[11] ，详而览焉。

注释

[1] 　《周官》：即《周礼》，儒家经典。大司徒：六官之一，管理土地及户口。职：掌管。

[2] 　表：测量日影的标杆。

[3] 　景yǐng：影。

[4] 　“说云”两句：郑玄《周礼注》中的文字。

[5] 　指趣：宗旨，意义。

[6] 　法：除数。

[7] 　实：被除数。

[8] 　去：距离。

[9] 　幽遐：僻远；深幽。诡伏：隐藏不露。

[10] 　靡：无。

[11] 　博物：通晓众物。

译文

《周礼》中规定大司徒的职责之一，就是在夏至日的正午立一根8尺长的标杆，将影长是1尺5寸的地方，定为大地的中心。《周礼注》中说，此刻太阳在南方15000里处。这个结论可以由术推算出来。按：《九章算术》中有立四根标杆求距离和根据树木求山高的方法，都是在近处设参照物相对应，还没有距离这么遥远的。如此看来，张苍等人的计算方法不足以涵盖所有的数学方法。我发现九数中有“重差”这一项目，它原本的宗旨是为了解答这类问题。凡是测量极高、极深又求它们的远近距离的情况，必须用重差、勾股。由于要以两次直角边相当边的差数作为率，所以称为“重差”。在洛阳城立两根标杆，高8尺，使它们处于南北方向的同一水平面上。同一天正午的时候测量它们的影长。以它们的影长之差作为除数，标杆的高度乘标杆间的距离作为被除数，被除数除以除数，所得之数加上标杆的高度，即为太阳到地面的距离。以南标杆的影长乘标杆间的距离为被除数，除数不变，所得即为南标杆到太阳直射处的距离。分别以南标杆到太阳直射处的距离和太阳到地面的距离作为勾、股，求得的弦即为太阳到人的距离。以直径1寸的竹筒向南观望太阳，阳光充满竹筒内的空间。以筒的长度为股率，筒的直径为勾率，太阳到人的距离为大股，与大股相对应的勾即为太阳的直径。即使是天象都可以测量，更何况是泰山的高度和江海的宽度呢。我认为当今的史籍已经有了一些对天地间事物的记录，并且考论它们的数量，记载在志书中，展示了世间算学的美妙。于是我写《重差》，并为之作注解，以探究古人的本意，附于《勾股》之后。测量高度用两根标杆，测量深度用多次矩尺，对孤立的测量点需要观测三次，对孤立且要求解决其他问题的需要观测四次。如果触类旁通，即使问题深远隐秘，也没有不能解决的。博学的君子们，请仔细阅读这本书吧。