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移除书签卷第五 商功
商功[1]以御功程积实
今有穿地[2] ，积一万尺。问：为坚、壤各几何？
答曰：为坚七千五百尺；为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四为壤五，壤谓息土[3] 。 为坚三，坚谓筑土。 为墟四。墟谓穿坑。此皆其常率。 以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。今有术也。 以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之；皆三而一。臣淳风等谨按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。
注释
[1] 商功：测量体积、计算工程用工的方法。
[2] 穿：穿孔，打洞。引申为开凿，挖掘。
[3] 息土：古代传说的一种能自生长、永不减耗的土壤。后泛指沃土。
译文
商功（刘徽注：用来处理土方工程的体积问题。）
现有挖出的土，体积10000尺3 。问：如果折算成坚土、壤土，各是多少？
答：折算成坚土7500尺3 ；折算成壤土12500尺3 。
折算法则：挖土为4，折算成壤土为5，（壤土就是沃土。）折算成坚土为3，（坚土就是建筑用土，夯土。）折算成墟为4。（墟就是挖土留下的坑穴。这些是它们的常率。）以挖土折算壤土，乘以5；折算坚土，乘以3；都除以4。（这是运用今有法则。）以壤土折算挖土，乘以4；折算坚土，乘以3；都除以5。以坚土折算挖土，乘以4；折算壤土，乘以5；都除以3。（李淳风注：本法则运用今有法则。挖土体积10000尺3 ，作为所有数，坚土率3、壤土率5各作为所求率，挖土率4作为所有率，运用今有法则，即可解答。）
术曰：并上下广而半之，损广补狭。 以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺[3] 。按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。
注释
[1] 垣：围墙。
[2] 堑：坑。
[3] “以高若深乘之”三句：上下宽度相加再取半，乘以高度或者深度，再乘以长度，即为体积尺数，如图5－1。假设梯形上底宽a ，下底宽b ，高h ，长l 。所以梯形体积 。
图5－1
译文
城、墙、堤、沟、堑、渠都使用同一法则。
法则：上下宽度相加再取半，（刘徽注：折损宽的增补狭窄的。）乘以高度或者深度，再乘以长度，即为体积尺数。（刘徽注：本法则“上下宽度相加再取半”是为了以盈补虚，得到宽度的平均值。“乘以高度或者深度”，得到横截面的面积。“再乘以长度”，得到立方体的体积，所以称为体积的尺数。）
今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问：积几何？
答曰：一百八十九万七千五百尺。
今有垣，下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问：积几何？
答曰：六千七百七十四尺。
今有堤，下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问：积几何？
答曰：七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺[1] ，问：用徒几何？
答曰：一十六人一百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法。实如法而一，即用徒人数。
注释
[1] 功：劳绩，成绩。
译文
现有城，下底宽4丈，上顶宽2丈，高5丈，长126丈5尺。问：体积是多少？
答：1897500尺3 。
现有墙，下底宽3尺，上顶宽2尺，高1丈2尺，长22丈5尺8寸。问：体积是多少？
答：6774尺3 。
现有堤，下底宽2丈，上顶宽8尺，高4尺，长12丈7尺。问：体积是多少？
答：7112尺3 。
冬季每人的日工作量为444尺3 ，问：用工多少人？
答： 人。
解法：体积的尺数作为被除数，每人的工作量尺数作为除数。被除数除以除数，即为工作人数。
今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问：积几何？
答曰：四千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。问：用徒几何？
答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。“去其五分之一”者，谓以四乘五除也。 以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。按：此术置本人功，“去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出土之功，取其定功。乃通分纳子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数不尽者，等数约之而命分也。
译文
现有沟，上底宽1丈5尺，下底宽1丈，深5尺，长7丈。问：容积是多少？
答：4375尺3 。
春季每人的日工作量766尺3 ，其中出土的工作量占 ，所以实际的工作量是 尺3 。问：用工多少人？
答： 人。
解法：列出每人的总工作量，减去其中的 ，余数作为除数。（刘徽注：“减去其中的 ”，就是乘以4除以5。）以沟的容积作为被除数。被除数除以除数，得到工作人数。（刘徽注：本方法中“列出每人的总工作量，减去其中的 ”，指的是乘以4，除以5，就是减去出土的工作量，取实际的工作量。于是通分加入分子作为除数。分母乘沟的容积尺数作为被除数，除数里包含分数，被除数通分，所以被除数除以除数，得到工作人数。这里用1人工作的容积尺数除众人工作的容积尺数，所以如果除不尽，就用等数约简后用分数表示。）
今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问：积几何？
答曰：一万九百四十三尺八寸[1] 。八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。贵欲从易，非其常定也。
夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺一十五分尺之四。问：用徒几何？
答曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘五除。“又去沙砾水石作太半”者，一乘三除，存其少半，取其定功。乃通分纳子以为法。以分母乘积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。不尽者，等数约之而命分也。
注释
[1] 八寸：容积V ＝Sh ＝1尺2 ×8寸＝10寸×10寸×8寸＝800寸3 。
译文
现有堑，上底宽1丈6尺3寸，下底宽1丈，深6尺3寸，长13丈2尺1寸。问：容积是多少？
答：10943尺3 800寸3 。（刘徽注：8寸，是挖土1尺2 ，深8寸的坑。容积有余数为1尺2 ，深2分4厘5毫，舍弃。解答问题贵在简便，不能墨守成规。）
夏季每人的日工作量871尺3 ，其中出土的工作量占 ，处理沙砾水石的工作量占 ，所以实际的工作量是 尺3 。问：用工多少人？
答： 人。
解法：列出每人的总工作量，减去出土的工作量 ，再减去处理沙砾水石的工作量 ，余数作为除数。以堑的容积作为被除数，被除数除以除数，得到工作人数。（刘徽注：本方法中“列出每人的总工作量，减去出土的工作量 ”，指的是乘以4除以5。“再减去处理沙砾水石的工作量 ”，指的是乘以1除以3，保留 ，取实际的工作量。于是通分加入分子作为除数。分母乘堑的容积尺数作为被除数，除数里包含分数，被除数通分，所以被除数除以除数，得到工作人数。如果除不尽，就用等数约简后用分数表示。）
今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问：积几何？
答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺。问：用徒几何？
答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十四尺四寸。
一千人先到，问：当受袤几何？
答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。以一千人一日功为实。 并渠上下广而半之，以深乘之为法。以渠广深之立实为法。 实如法得袤尺。
译文
现有挖渠，上底宽1丈8尺，下底宽3尺6寸，深1丈8尺，长51824尺。问：容积是多少？
答：10074585尺3 600寸3 。
秋季每人的日工作量300尺3 。问：用工多少人？
答：33582人，内不足14尺3 400寸3 。
1000人先到，问：可以先挖多长的渠？
答：154丈3尺 寸。
解法：以1人的工作量尺数乘先到的人数作为被除数。（刘徽注：以1000人1天的工作量作为被除数。）将渠的上下宽度相加之和取半，乘以深度，所得数值作为除数。（刘徽注：以渠的宽度与深度的乘积作为除数。）被除数除以除数得到长度尺数。
今有方堢壔[1] ，堢者，堢城也；壔，音丁老切，又音纛，谓以土拥木也。 方一丈六尺，高一丈五尺。问：积几何？
答曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。
今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问：积几何？
答曰：二千一百一十二尺。于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。臣淳风等谨按：依密率，积二千一十六尺。
术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术，当以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而以高乘幂也。臣淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。
注释
[1] 堢bǎo：土堆。壔dǎo：土堡。
译文
现有方形土城堡，（刘徽注：堢，就是土城；壔，音丁老切，又音纛，就是土簇拥着木桩。）底面为正方形，边长1丈6尺，高1丈5尺。问：体积是多少？
答：3840尺3 。
解法：底边长自乘，乘以高，即为体积尺数。
现有圆形土城堡，底面周长4丈8尺，高1丈1尺。问：体积是多少？
答：2112尺3 。（刘徽注：运用徽率，体积应当为 尺3 。李淳风注：依照密率，体积为2016尺3 。）
解法：底面周长自乘，乘以高，除以12。（刘徽注：本章法则皆以周3径1为率，全是错误的。按照徽率，底面周长自乘，乘以高，再乘以25，除以314。这里底面圆面积如同圆田面积。求底面面积如同求圆田面积。再用面积乘以高。李淳风注：依照密率，乘以7，除以88。）
今有方亭[1] ，下方五丈，上方四丈，高五丈。问：积几何？
答曰：一十万一千六百六十六尺太半尺。
术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一[2] 。此章有堑堵[3] 、阳马[4] ，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，四角阳马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，约积三尺，是为得中央立方一，四面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺，是为中央立方一，四面堑堵各二，四角阳马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡三品棋皆一而为三。故三而一，得积尺。用棋之数：立方三，堑堵、阳马各十二，凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四阳马也。上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵也。并之，以为方亭积数也。
注释
[1] 方亭：方台。
[2] “上下方相乘”五句：假设方台上底边长为a ，下底边长为b ，高为h ，则方台的体积 。
[3] 堑堵：两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体。如图5－2。
[4] 阳马：四角锥体。底面为正方形。如图5－2。
图5－2
译文
现有方台，下底边长5丈，上底边长4丈，高5丈。问：体积是多少？
答： 尺3 。
法则：上下底边边长相乘，又各自乘，相加，乘以高，除以3。（刘徽注：本章有堑堵、阳马等立体，都可以合成立方体。所以算者设计了三种棋，用来推算它们的体积。假设方台上底边长1尺，下底边长3尺，高1尺。它用的棋，中央立方体1个，四面堑堵4个，四角阳马4个。上下底边边长相乘，为3尺2 ，乘以高，体积为3尺3 ，所以是中央立方体1个，四面堑堵各1个。下底边长自乘为9尺2 ，乘以高，体积为9尺3 ，所以是中央立方体1个，四面堑堵各2个，四角阳马各3个。上底边长自乘，乘以高，体积为1尺3 ，所以是中央立方体1个。凡是三种棋都是方台棋数的3倍。所以除以3，得到体积尺数。使用棋数：正方体3个，堑堵、阳马各12个，共27个，合成棋13个。如果改变次序，可以合成方台3个。体积公式得到验证。本法则也可以令上下底边长之差自乘，乘以高，除以3，即为4个阳马的体积。上下底边长相乘，乘以高，即为中央立方和四面堑堵的体积。将它们相加，得到方台的体积。）
今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问：积几何？
答曰：五百二十七尺九分尺之七。于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。臣淳风等谨按：按密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。
术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一[1] 。此术周三径一之义，合以三除上下周，各为上下径，以相乘；又各自乘，并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周，俱不尽，还通之，即各为上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母三相乘得九，为法，除之。又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以三而一；今求圆亭之积，亦合三乘之。二母既同，故相准折，惟以方幂四乘分母九，得三十六，而连除之。
注释
[1] “上下周相乘”五句：如图5－3，假设圆台上底周长C1 ，下底周长C2 ，高h 。则圆台体积 。
图5－3
译文
现有圆台，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈。问：体积是多少？
答： 尺3 。（刘徽注：用徽率，体积应当为 尺3 。李淳风注：按照密率，体积为 尺3 。）
法则：上下底周长相乘，再各自乘，相加，乘以高，除以36。（刘徽注：本法则按照周3径1率，应该上下底周长各除以3，为上下底的直径。令它们相乘，再各自乘，相加，乘以高，除以3，即为方台的体积。假设令上下底周长除以3，除不尽，就应同分，上下底的直径分别作为分子。上下底直径相乘，再各自乘，相加，乘以高，即为3个方台体积的积分。这里应该用分母3相乘得9，作为除数，作除法。再除以3，得到方台的体积。从方台求圆台的体积，如同从正方形求内切圆的面积。乘以圆率3，除以方率4，得到圆台的体积。前面求方台的体积，除以3；现在求圆台的体积，应该乘以3。乘除为同一数，所以相互抵消，只用正方形面积4乘分母9，得36，作为除数。）
于徽术，当上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一。此圆亭四角圆杀，比于方亭，二百分之一百五十七。为术之意，先作方亭，三而一。则此据上下径为之者，当又以一百五十七乘之，六百而一也。今据周为之，若于圆堢壔，又以二十五乘之，三百一十四而一，则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。
译文
刘徽注：用徽率，应当上下周长相乘，再各自乘，相加，乘以高，乘以25，除以942。这里圆台四角为圆，是方台体积的 。本法则的本意，先求方台体积，除以3。方台根据上下底的直径做出，应当再乘以157，除以600。现在根据周长做出，应参照圆形土城堡的算法，乘以25，除以314，则得到3个圆台的体积。所以用314代替942去除，就是用3与314一并除。李淳风注：依照密率，乘以7，除以264。
今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问：积几何？
答曰：七千四十七尺。
术曰：下方自乘，以高乘之，三而一[1] 。按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四阳马。如术为之，用十二阳马成三方锥，故三而一，得方锥也。
注释
[1] “下方自乘”三句：如图5－4，假设方锥下底边长a ，高h ，则方锥体积 。
图5－4
译文
现有方锥，下底为正方形，边长2丈7尺，高2丈9尺。问：体积是多少？
答：7047尺3 。
法则：下底边长自乘，乘以高，除以3。（刘徽注：本法则假设方锥下底边长2尺，高1尺，即为4个阳马。如前面法则，用12个阳马可以合成3个方锥，所以除以3，得1个方锥的体积。）
今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问：积几何？
答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。臣淳风等谨按：依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。
术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一[1] 。按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘，以高乘之，令三而一，得大方锥之积。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十二，得三十六，而连除。
注释
[1] “下周自乘”三句：如图5－5，假设圆锥下底周长C ，高h ，则圆锥体积 。
图5－5
译文
现有圆锥，下底周长3丈5尺，高5丈1尺。问：体积是多少？
答： 尺3 。（刘徽注：用徽率，体积应当为 尺3 。李淳风注：依照密率，体积为 尺3 。）
法则：下底周长自乘，乘以高，除以36。（刘徽注：本法则圆锥下底周长作为方锥下底边长。方锥下底边长自乘，除以3，得大方锥的体积。大方锥的底面积等于12个圆面积。现在求1个圆面积，应当除以12，所以令3乘12，得36，作为除数。）
于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一。圆锥比于方锥，亦二百分之一百五十七。命径自乘者，亦当以一百五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也。臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。
译文
刘徽注：用徽率，应当下底周长自乘，乘以高，再乘以25，除以942。圆锥是方锥体积的 。如果直径自乘，也应当乘以157，除以600。道理如同求圆台。李淳风按：依照密率，乘以7，除以264。
今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问：积几何？
答曰：四万六千五百尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一[1] 。斜解立方得两堑堵。虽复橢方[2] ，亦为堑堵，故二而一。此则合所规棋。推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。未闻所以名之为堑堵之说也。
注释
[1] “广袤相乘”三句：如图5－6，假设堑堵宽a ，长b ，高h ，则堑堵的体积 。
[2] 橢方：长方体。
图5－6
译文
现有堑堵，下底宽2丈，长18丈6尺，高2丈5尺。问：体积是多少？
答：46500尺3 。
法则：宽和长相乘，乘以高，除以2。（刘徽注：斜着剖开正方体得到2个堑堵。即使是长方体，剖开也是2个堑堵，所以除以2。这符合所规定的棋。推测它的形状，应该是在堑上叠放。形状像城墙，但是没有上面的宽度，与所规定的棋形状不同而体积相同。没有听说过堑堵名称的由来。）
今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问：积几何？
答曰：九十三尺少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。按：此术阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺，高一尺，相乘之，得立方积一尺。斜解立方得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑[1] 。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。验之以棋，其形露矣。悉割阳马，凡为六鳖臑。观其割分，则体势互通，盖易了也。
注释
[1] 鳖臑nào：鳖的前肢。臑，人的上肢或牲畜的前肢。
译文
现有阳马，宽5尺，长7尺，高8尺。问：体积是多少？
答： 尺3 。
法则：宽和长相乘，乘以高，除以3。（刘徽注：本法则阳马的形状，是方锥的一角。现在所谓四柱屋的一角也是阳马。假设宽、长各1尺，高1尺，相乘，得到正方体的体积1尺3 。斜着剖开正方体得到2个堑堵；斜着剖开堑堵，其中一个是阳马，另一个是鳖臑。阳马占2份，鳖臑占1份，这个比例不变。2个鳖臑可以合成1个阳马，3个阳马可以合成1个正方体，所以除以3。如果用棋来验证，就很明显了。将阳马全部剖开，共得6个鳖臑。观察分割得到的各个部分，它们的形状互通，体积也容易推算。）
其棋或修短[1] ，或广狭，立方不等者，亦割分以为六鳖臑。其形不悉相似。然见数同，积实均也。鳖臑殊形，阳马异体。然阳马异体，则不纯合，不纯合，则难为之矣。何则？按：斜解方棋以为堑堵者，必当以半为分，斜解堑堵以为阳马者，亦必当以半为分，一纵一横耳。设为阳马为分内，鳖臑为分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。其使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑，接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖臑，则一阳马也。其余两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，则一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣？若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。鳖臑之物，不同器用；阳马之形，或随修短广狭。然不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。
注释
[1] 修短：长短。修，高，长。
译文
这些棋是有的长、有的短，有的宽、有的窄，宽、长、高不等的立方体，也分割成6个鳖臑。它们的形状不完全相同。然而它们的宽、长和高相同，所以体积也相等。鳖臑形状不同，阳马的结构有变化。阳马的结构有了变化，就不能完全重合。不完全重合，就难以处理。为什么呢？斜着剖开方棋，分为堑堵，必定是每份一半；斜着剖开堑堵，分为阳马，必定是每份一半，一纵一横。假设阳马作为内棋，堑堵作为外棋。棋虽然有长有短、有宽有狭，但是有这个不变的率，所以即便形状不同，结构有变，道理也是一样的。使鳖臑宽、长、高各为2尺，由堑堵、鳖臑各2个合成，都用红棋。使阳马的宽、长、高各为2尺，由立方体棋1个，堑堵、阳马各2个合成，都用黑棋。红棋、黑棋拼接成堑堵，宽、长、高各2尺。中分堑堵的宽、长、高，令红、黑堑堵各自合成1个立方体，高1尺，边长1尺，每2份鳖臑相当于1份阳马。其余的两端各自拼接相同的形状，合成1个立方体。所以，别种形状的立方体的率占3份，与堑堵形状相似的立方体的率占1份。即使正方形改变了，其余扔保持恒定的率。刘徽注：余下的体积可知的有1、2之别，所以1、2作为鳖臑和阳马的率已经确定。道理上讲这是虚假的吗？如果以数来研究，列出余下的宽、长、高的数值，取半，其中 的体积可以知道。中分的部分越少，其余的地方越细，称为微数。微数的形态不固定。这样看来，为什么要取分数？数学里求无穷，按数理推算，不用算筹。鳖臑与常见的器具不同；阳马的形状，有长有短、有宽有狭。然而，没有鳖臑，就无法推算阳马的体积，没有阳马，就无法推算锥、台的情况，这是程功积实问题的基础。
今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问：积几何？
答曰：二十三尺少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。按：此术臑者，臂骨也。或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马得两鳖臑[1] 。之见数即阳马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。
注释
[1] 中破阳马得两鳖臑：从中间剖开阳马得到2个鳖臑，如图5－7。假设鳖臑的长为a ，宽为b ，高为c ，则鳖臑的体积为 。
图5－7
译文
现有鳖臑，下底宽5尺，没有长；上底长4尺，没有宽；高7尺。问：体积是多少？
答： 尺3 。
法则：下底宽与上底长相乘，乘以高，除以6。（刘徽注：本法则中，臑指的是臂骨。有人说半个阳马的形状类似鳖的肘，所以得名。从中间剖开阳马得到两个鳖臑。所以鳖臑的体积是阳马体积的一半。宽、长、高和阳马相同但是体积是阳马的一半，所以除以6，即可求得。）
今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问：积几何？
答曰：八十四尺。
术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下斜，似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形[1] 。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一尺。下广、末广皆堑堵；上广者，两鳖臑与一堑堵相连之广也。以深、袤乘，得积五尺。鳖臑居二，堑堵居三，其于本棋，皆一为六，故六而一。合四阳马以为方锥。斜画方锥之底，亦令为中方。就中方削而上合，全为中方锥之半[2] 。于是阳马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖臑焉。故外锥之半亦为四鳖臑。虽背正异形，与常所谓鳖臑参不相似，实则同也。所云夹堑堵者，中锥之鳖臑也。凡堑堵上袤短者，连阳马也。下袤短者，与鳖臑连也。上、下两袤相等知，亦与鳖臑连也。并三广，以高、袤乘，六而一，皆其积也。今此羡除之广，即堑堵之袤也。
注释
[1] 似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形：好像2个鳖臑夹着1个堑堵，这就是羡除的形状。如图5－8，假设羡除的上底宽为a ，下底宽为b ，末宽为c ，深度为h ，长为l 。则羡除的体积为 。
图5－8
[2] 半pàn：大片。
译文
现有隧道，下底宽6尺，上底宽1丈，深3尺；末宽8尺，没有深度；长7尺。问：体积是多少？
答：84尺3 。
法则：三个宽度相加，乘以深度，再乘以长，除以6。（刘徽注：本法则中，羡除实际上指的是隧道。它挖土的形状，上面平下面斜，好像2个鳖臑夹着1个堑堵，这就是羡除的形状。假设棋：上底宽3尺，深1尺，下底宽1尺；末宽1尺，没有深度；长1尺。下底宽度、末宽都是堑堵的宽。上底宽度，是2个鳖臑与1个堑堵相连的宽度。三个宽度之和乘以深度和长度，得到体积5尺3 。这其中鳖臑占2份，堑堵占3份，相比原本的棋，棋数全部由1个变成了6个，所以除以6。4个阳马合成1个方锥。斜着画方锥的底，中间也是一个正方体。沿着正方体向上剖开，为中方锥的一部分。于是阳马全部从中间分解了。中锥分离后为4个鳖臑。所以外锥的一部分为4个鳖臑。虽然它们的形状不同往常，就是长宽、长、高都不相同，但体积相同。上面提到的夹着堑堵的鳖臑，就是中锥包含的鳖臑。凡是堑堵的上底长短的情况，就连接阳马。下底短的情况，就连接鳖臑。上下底的长相等的情况，也是连接鳖臑。三个宽度相加，乘以高和长，除以6，都可以得到体积。现在说的羡除的宽，就是堑堵的长。）
按：此本是三广不等，即与鳖臑连者。别而言之：中央堑堵广六尺，高三尺，袤七尺。末广之两旁，各一小鳖臑，皆与堑堵等。令小鳖臑居里，大鳖臑居表，则大鳖臑皆出橢方锥：下广二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，则为袤三尺。以高、广乘之，三而一，即半锥之积也。斜解半锥得此两大鳖臑。求其积，亦当六而一，合于常率矣。按：阳马之棋两斜，棋底方。当其方也，不问旁、角而割之，相半可知也。推此上连无成不方，故方锥与阳马同实。角而割之者，相半之势。此大小鳖臑可知更相表里，但体有背正也。
译文
刘徽注：本题目中三个宽度不相等，即堑堵连接鳖臑的情况。换句话说：中间的堑堵宽6尺，高3尺，长7尺。末宽的两端，各连接1个小鳖臑，长和高都与堑堵相等。令小鳖臑占据内侧，大鳖臑占据外侧，则由长方锥分离出，长方锥下底宽2尺，长6尺，高7尺。取它的一半，则为长3尺。乘以高和宽，除以3，即为半个方锥的体积。斜着分解半个方锥得到两个大鳖臑。求它们的体积，也应当除以6，这是符合常率的。阳马的棋有1个斜面，底面是正方形。不论沿着旁侧，还是对角线分割它，都是等分。推测出向上连接每层都是正方形，所以方锥和阳马的体积相等。沿着对角线分割，属于平分。这里大小鳖臑可以互换内外位置，但是形状有反正的区别。
今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈。问：积几何？
答曰：五千尺。
术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。推明义理者：旧说云，凡积刍有上下广曰童，甍谓其屋盖之茨也[1] 。是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正斩方亭两边，合之即刍甍之形也[2] 。假令下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺。其用棋也，中央堑堵二，两端阳马各二。倍下袤，上袤从之，为七尺，以广乘之，得幂十四尺。阳马之幂各居二，堑堵之幂各居三。以高乘之，得积十四尺。其于本棋也，皆一而为六。故六而一，即得。
注释
[1] 茨cí：用芦苇、茅草盖屋。又为茅草等盖的屋顶。
[2] 正斩方亭两边，合之即刍甍之形也：从正面切割方台的两边，合成就是刍甍的形状。假设刍甍的下底长为b ，上底长为a ，宽度为c ，高为h ，则刍甍的体积为 。
图5－9
译文
现有刍甍，下底宽3丈，长4长；上底长2丈，没有宽；高1丈。问：体积是多少？
答：5000尺3 。
法则：下底长度加倍，加上底长度，乘以宽度，再乘以高，除以6。（刘徽注：推导它的含义和理论：以前的说法是，凡是有上下底宽度的稻草堆成为童，甍就是屋脊。所以甍的下底宽、长与童的上底宽、长相等。从正面切割方台的两边，合成就是刍甍的形状。假设刍甍下底宽2尺，长3尺；上底长1尺，没有宽；高1尺。它的棋：中间2个堑堵，两端2个阳马。下底长度加倍，加上底长度，得7尺，乘以宽度，得面积14尺2 。其中阳马的面积各占据2份，堑堵的面积各占据3份。乘以高，得到体积14尺3 。相对于原本的棋，棋数全部由1个变成了6个。所以除以6，即可求得。）
亦可令上下袤差乘广，以高乘之，三而一，即四阳马也；下广乘上袤而半之，高乘之，即二堑堵；并之，以为甍积也。
译文
也可以使上下底长的差乘宽，乘以高，除以3，即为4个阳马的体积；下底宽乘上底长，取半，乘以高，即为2个堑堵的体积；相加，得到刍甍的体积。
刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术[1] 。
术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。倍下袤为八，上袤从之，为十。以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。后倍上袤，下袤从之，为八。以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。并两旁，三品棋皆一而为六，故六而一，即得。
注释
[1] 刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术：刍童、曲池、盘池、冥谷都用同一法则。如图5－10（a ）为刍童。假设刍童上底的宽和长分别为a1 、b1 ，下底的宽和长分别为a2 、b2 ，高为h ，则刍童的体积为 。如图5－10（b）为曲池。假设曲池上中周长C1 ，上外周长C2 ，下中周长C1 ′，下外周长C2 ′，则曲池的体积为 。
图5－10
译文
刍童、曲池、盘池、冥谷都用同一法则。
法则：上底长加倍，加下底长；也使下底长加倍，加上底长；各自乘以它们的宽；相加，乘以高度或深度，都除以6。（刘徽注：本法则假设刍童上底宽1尺，长2尺；下底宽3尺，长4尺；高1尺。它的棋：中间两个正方体，四面6个堑堵，四角4个阳马。下底长为8，加上底长，为10。乘以高和宽，得30尺3 。其中中间正方体各占3份，两端堑堵各占4份，两旁堑堵各占6份，四角阳马也各占6份。再使上底长加倍，加下底长，为8，乘高和宽，得体积8尺3 。其中中间正方体各占3份，两端堑堵各占2份。两个长方体相加，三种棋棋数全部由1变为6。所以除以6，即可求得。）
为术又可令上下广袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四阳马；上下广袤互相乘，并而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方；并之，为刍童积。又可令上下广袤互相乘而半之，上下广袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得也。
译文
本法则也可以使上下底的宽的差和上下底的长的差相乘，再乘以高，除以3，也是4个阳马的体积；上下底的宽和上下底的长相乘，相加之和取半，乘以高，即为四面的6个堑堵和2个正方体的体积之和；相加，就是刍童的体积。也可以使上底的宽乘下底的长，下底的宽乘上底的长，分别取半，上底宽乘上底长，下底宽乘下底长，相加，乘以高，除以3，即可求得。
其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。此池环而不通匝，形如盘蛇而曲之。亦云周者，谓如委谷依垣之周耳。引而伸之，周为袤。求袤之意，环田也。
译文
如果是曲池，使上中、外周长相加取半，作为上底长；也使下中、外周长相加取半，作为下底长。（刘徽注：本池是环形但是不足一周，形状如同盘起的蛇那样弯曲。周是指依靠墙壁堆放粮食的那种周长。将它拉伸，周就变成长。求长道理用环田法则。）
今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问：积几何？
答曰：二万六千五百尺。
今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺；深一丈。问：积几何？
答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盘池[1] ，上广六丈，袤八丈；下广四丈，袤六丈；深二丈。问：积几何？
答曰：七万六百六十六尺太半尺。
负土往来七十步；其二十步上下棚除[2] ，棚除二当平道五；踟蹰之间十加一；载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸[3] ；秋程人功行五十九里半。问：人到积尺及用徒各几何？
答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。
术曰：以一笼积尺乘程行步数，为实。往来上下棚、除二当平道五。棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五也。 置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。按：此术棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有行率，笼积一尺六寸为所求到土率，程行五十九里半为所有数，而今有之，即人到尺数。“以所到约积尺，即用徒人数”者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数。为术又可令往来一返所用之步约程行为返数，乘笼积为一人所到。以此术与今有术相返覆，则乘除之或先后，意各有所在而同归耳。 以所到约积尺，即用徒人数。
注释
[1] 盘池：盘状的水池。计算方法同刍童。
[2] 除：台阶。
[3] 笼：竹制的圆形器物，种类很多，有盛土的，盛物的，蓄养鸟兽的，等等。这里指土筐。
译文
现有刍童，下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈。问：体积是多少？
答：26500尺3 。
现有曲池，上中周长2丈，外周长4丈，宽1丈；下中周1丈4尺，外周2丈4尺，宽5尺；深1丈。问：体积是多少？
答：1883尺3 寸3 。
现有盘池，上底宽6丈，长8丈；下底宽4丈，长6丈；深2丈。问：体积是多少？
答： 尺3 。
背土往返需要70步；其中20步是上下楼阁和阶梯，在楼阁和阶梯2步相当于平道5步，徘徊的时间10步加1步，装卸时间30步，往返一次140步。土筐容积1尺3 600寸3 ；秋季每人每天工作量 里。问：每人每天运输的土的体积和工作人数是多少？
答：每人运输土的体积204尺3 ，工作人数 人。
法则：用1筐土的容积乘每人每天的步数，作为被除数。上下楼阁行2步折合平道5步。（刘徽注：棚，就是阁的意思；除，指台阶；上下困难，所以行2步折合平道5步。）列出往返步数，满10加1，再加上装卸时间30步作为除数。作除法，所得值为每人每天运输土的体积。（刘徽注：本题中棚，就是阁的意思；除，指的是台阶；上下困难，所以行2步折合平道5步。列出往返步数，满10加1，再加上装卸时间30步，所以往返一次用140步。运用今有法则，140步为所有行率，筐的容积1尺3 600寸3 作为所求到土率，每人每天行 里作为所有数，根据今有法则，即可求得每人每天运输土的体积。“用盘池的容积除以每人每天运输土的体积，即可得到工作人数”，是因为用众人的做工体积除以1人的做工体积，所以得到工作人数。本题也可以用每人每天的步数除以往返一次的步数，乘土筐的容积得到每人每天运输的土的体积。用本解法和今有法则相比，乘除的顺序有先后不同，虽然意思不同但结果一致。）用盘池的容积除以每人每天运输土的体积，即可得到工作人数。
今有冥谷[1] ，上广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问：积几何？
答曰：五万二千尺。
载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里；六人共车，车载三十四尺七寸。问：人到积尺及用徒各几何？
答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。
术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步，为所有行率；车载三十四尺七寸为所求率；程行五十八里，通之为步，为所有数，而今有之，所得则一车所到。欲得人到者，当以六人除之，即得。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用以车尺数以为一人到土率，六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率，令六人约车积尺数为一人到土率，以载土术入之。入之者，亦可求返数也。要取其会通而已。术恐有分，故令乘法而并除。“以所到约积尺，即用徒人数”者，以一人所到积尺除其众积，故得用徒人数也。 以所到约积尺，即用徒人数。
注释
[1] 冥谷：墓穴，形为长方台。计算方法同刍童。
译文
现有冥谷，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈；深6丈5尺。问：体积是多少？
答：52000尺3 。
运输土石每次200步，装卸折合步行1里，每日每人行58里；6人用1辆车，每车载34尺3 700寸3 。问：每人每天运输土的体积和工作人数各是多少？
答：每人每天运输土 尺3 。工作人数 人。
解法：用车的容积乘每人每天的步数，作为被除数。列出往返步数，加装卸折合的1里，乘以每车的6人，所得作为除数。作除法，得到每人每天运输土的体积。（刘徽注：本题运用今有法则。将装卸和往返步数相加得500步，作为所有行率；每车装载34尺3 700寸3 作为所求到土率；每日每人行58里，折算成步数作为所有数。运用今有法则，可得到每车每天运输土的体积。想求每人每天运输土的体积，就应当用所得数值除以6。题中会出现分数，所以使除数乘以分母再一并作除法，用车的容积作为每人到土率，6人乘500步作为行率。也可以使500步作为行率，车的容积除以6人所得数值作为每人的到土率，使用运输土法则。运输土法则也可以求出往返次数。要做到融会贯通。本题可能出现分数，所以使除数乘以分母再一并作除法。“用冥谷的容积除以每人每天运输土的体积，即可得到工作人数”是因为用众人的做工体积除以1人的做工体积，所以得到工作人数。）用冥谷的容积除以每人每天运输土的体积，即可得到工作人数。
今有委粟平地[1] ，下周一十二丈，高二丈。问：积及为粟几何？
答曰：积八千尺。于徽术，当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。臣淳风等谨依密率，为积七千六百三十六尺十一分尺之四。
为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。于徽术，当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。臣淳风等谨依密率，为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。
今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问：积及为菽各几何？
答曰：积三百五十尺。依徽术，当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六也。臣淳风等谨依密率，为积三百三十四尺十一分尺之一。
为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。依徽术，当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。臣淳风等谨依密率，为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。
今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米各几何？
答曰：积三十五尺九分尺之五。于徽术，当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。臣淳风等谨依密率，当积三十三尺三十三分尺之三十一。
为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。臣淳风等谨依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。
委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一也。 其依垣者，居圆锥之半也。 十八而一。于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为法也。 其依垣内角者，角，隅也，居圆锥四分之一也。 九而一。于徽术，当令此下周自乘而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。依隅之周半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周，得径。若不尽，通分纳子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。母自相乘，得九，为法，又当三而一，约方锥之积。从方锥中求圆锥之积，亦犹方幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃合三而一；今求圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连除，圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。臣淳风等谨依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百三十二而一；依隅者，六十六而一也。
注释
[1] 委：堆积。
译文
现在平地堆积粟米，下底周长12丈，高2丈。问：体积和粟米量各是多少？
答：体积8000尺3 。（刘徽注：用徽率，体积应当是 尺3 。李淳风注：依照密率，体积应当是 尺3 。）
粟米有 斛。（刘徽注：用徽率，粟米应当是 斛。李淳风注：依照密率，粟米应当是 斛。）
现挨墙堆积大豆，下底周长3丈，高7尺。问：体积和大豆量各是多少？
答：体积350尺3 。（刘徽注：用徽率，体积应当是 尺3 。李淳风注：依照密率，体积应当是 尺3 。）
大豆有 斛。（刘徽注：用徽率，大豆应当是 斛。李淳风注：依照密率，粟米应当是 斛。）
现挨墙角堆积米，下底周长8尺，高5尺。问：体积和米量各是多少？
答：体积 尺3 。（刘徽注：用徽率，体积应当是 尺3 。李淳风注：依照密率，体积应当是 尺3 。）
米有 斛。（刘徽注：用徽率，米应当是 斛。李淳风注：依照密率，米应当是 斛。）
堆积粮食法则：下底周长自乘，乘以高，除以36。（刘徽注：如同圆锥法则。用徽率，也应当先使下底周长自乘，乘以高，再乘以25，除以942。）挨着墙堆积，（刘徽注：占圆锥体积的一半。）除以18。（刘徽注：用徽率，应当使下底周长自乘，乘以高，再乘以25，除以471。挨墙堆积的情况，周长是全周长的一半。自乘的幂也是全周长自乘幂的 ，所以取全周长的除数的一半作为除数。）挨着墙角堆积，（刘徽注：角，就是隅，占圆锥体积的 。）除以9。（刘徽注：用徽率，应当使下周长自乘加倍，乘以高，再乘以25，除以471。挨墙角的情况，周长是半周长的一半。自乘的幂也是挨墙自乘幂的 ，所以应当取半周长的除数的一半作为除数。除数不可以取半，所以将被除数增为2倍。本法则也使用周3径1率。假设用周长除以3，得直径。如果除不尽，就通分加入分子，即为直径的积分。直径自乘，乘以高，即为外切方锥体积3倍的积分。分母自乘，得9，作为除数，又除以3，得1个方锥的体积。从方锥的体积求圆锥的体积，如同从正方形面积求内切圆的面积。应当乘以3，除以4，得圆锥的体积。前面求方锥的体积，用3除以1；现在求圆锥的体积，应乘以3。两者分母相同，所以相抵消。所以分母9乘以4，得36连在一起除，得到圆锥的体积。圆锥的体积与在平地上堆积粮食的体积求法相同，所以除以36。李淳风注：依照密率，乘以7，平地堆积，除以264；挨墙堆积，除以132；挨墙角堆积，除以66。）
程粟一斛积二尺七寸；二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。 其米一斛积一尺六寸五分寸之一；谓积一千六百二十寸。 其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。谓积二千四百三十寸。此为以粗精为率，而不等其概也。粟率五，米率三，故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概，而皆不合于今斛。当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺。于徽术，为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇[1] 。《周官·考工记》：“栗氏为量，深一尺，内方一尺，而圆外，其实一鬴[2] 。”于徽术，此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升，方一尺，深一尺，其积一千寸。若此方积容六斗四升，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠五分龠之三也[3] 。以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫[4] ，幂一百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。王莽铜斛与《汉书·律历志》所论斛同。
注释
[1] 合gě：量词。10合为1升，10升为1斗。
[2] 鬴fǔ：同“釜”，古代量器。
[3] 龠yuè：容量单位，等于半合。
[4] 庣tiāo：凹下或不满的地方。
译文
一斛粟米的容积是2尺3 700寸3 ；（刘徽注：2尺3 700寸3 就是指正方形面积1尺2 ，深2尺7寸，它的容积是2700寸3 。）一斛米的容积是1尺3 寸3 ；（刘徽注：就是指容积是1620寸3 。）一斛大豆、小豆、芝麻、麦的容积是2尺3 寸3 。（刘徽注：就是指容积是2430寸3 。这里以粮食的粗精为率，而不粗略地使它们相等。粟率5，米率3，所以1斛米的容积折算成1斛粟的 ；大豆、小豆、芝麻、麦也分别按它们的率计算。所以用它们的三种量器称量，和现今的斛不同。当今大司农斛的直径1尺3寸5分5厘，深1尺。用徽率计算，容积是1441寸3 ，还有剩余分数 寸。王莽铜斛按现今的尺寸量得深9寸5分5厘，直径1尺3寸6分8厘7毫。用徽率，按现今的尺寸容积为9斗7升4合，还有奇零。《周礼·考工记》中说：“栗氏制作量器，深1尺，内方边长1尺，外圆，容积1鬴。”用徽率，圆面积是1570寸3 。《左氏传》中说：“齐国旧时的4个量器：豆、区、釜、钟。4升为1豆，豆、区分别近4，得到釜，10釜为1钟。”钟的容积6斛4斗，釜的容积6豆4升。底面边长1尺，深1尺，容积1000寸3 。如果这个这个方斛的容积是6斗4升，那么它外接圆柱容积10斗4合 龠。用这些数值计算，斛的底面是边长1尺的正方形内切圆。庣旁1厘7毫，圆面积 寸2 ，深1尺，容积 寸3 ，容量10斗。王莽铜斛与《汉书·律历志》中所谈到的斛相同。）
今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问：穿地下广几何？
答曰：三尺五分尺之三。
术曰：置垣积尺，四之为实。穿地四为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。 以深、袤相乘，为深袤之立实也。 又以三之为法。以深、袤乘之立实除垣积，则坑广。又“三之”者，与坚率并除之。 所得，倍之。坑有两广。先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知，两广全也。 减上广，余即下广。按：此术穿地四，为坚三。垣，即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。“深袤相乘”者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又“三之为法”，与坚率并除。“所得倍之”者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，故倍之还为两广并。故“减上广，余即下广”也。
译文
现有挖土，长1丈6尺，深1丈，上底宽6尺，筑成墙体积是576尺3 。问：挖的土坑下底宽多少？
答： 尺3 。
解法：列出墙体积，乘以4作为被除数。（刘徽注：挖土4为坚土3。墙，用坚土。用坚土求挖土，乘以4，除以3。）将深和长相乘，（刘徽注：为深和长的纵截面面积。）再乘以3作为除数。（刘徽注：用墙的体积除以深和长的纵截面面积，就是坑的宽。再“乘以3”的原因是，和坚土率一起除。）所得数值加倍。（刘徽注：坑有2个宽，先将它们相加，取半，即为宽窄的平均值。现在先求得平均值，所以加倍，两个宽就完整了。）减去上底的宽，余数就是下底的宽。（刘徽注：本题中，挖土4相当于坚土3。墙，用坚土。现用坚土求挖土，乘以4，除以3。“深和长相乘”的原因，是求深和长的纵截面面积。墙体积除以深和长的纵截面面积，即为坑的宽。再“乘以3作为除数”的原因是，和坚土率一起除。“所得数值加倍”的原因是，坑有2个宽，先相加取半，得宽的平均值。先得到平均值，所以加倍得到2个宽的和。所以“减去上底的宽，余数就是下底的宽”。）
今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问：高几何？
答曰：二丈。
术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。以广袤之幂除积，故得高。按：此术本以广袤相乘，以高乘之，得此积。今还元，置此广袤相乘为法，除之，故得高也。
译文
现有粮仓，宽3丈，长4丈5尺，容积装粟10000斛。问：高是多少？
答：2丈。
解法：列出10000斛粟的体积作为被除数。宽长相乘作为除数。被除数除以除数，得到高。（刘徽注：粮仓的体积除以深和长的截面面积，得到高。本题目本来用宽和长相乘，乘以高，得到体积。现在还原，列出宽和长相乘作为除数，作除法，得到高。）
今有圆囷，圆囷，廪也，亦云圆囤也。 高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问：周几何？
答曰：五丈四尺。于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。臣淳风等谨按：依密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。
术曰：置米积尺，此积犹圆堢壔之积。 以十二乘之，令高而一。所得，开方除之，即周。于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高，为法。所得，开方除之，即周也。此亦据见幂以求周，失之于微少也。
译文
现有圆囷，（刘徽注：圆囷，就是圆形粮仓，也叫圆囤。）高1丈3尺 寸，容积装米2000斛。问：周长是多少？
答：5丈4尺。（刘徽注：用徽率，周长应当是5丈5尺 寸。李淳风注：依照密率，周长为5丈 尺。）
解法：列出米的体积，（刘徽注：米的体积相当于圆形土城堡的体积。）乘以12，除以高。所得数值开方，即为周长。（刘徽注：用徽率，应当列出米的体积，乘以314，作为被除数。25乘高，作为除数。所得数值开方，即为周长。这是根据面积求周长，误差在于稍微少了点。）
晋武库中有汉时王莽所作铜斛，其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分，深一寸，积一百六十二寸，容一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今《律历志》同，亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字尺寸分数，然不尽得升、合、勺之文字。
译文
晋代武库中有汉朝王莽所制铜斛，斛的侧面有篆书铭文：法定标准量器斛，内部是边长1尺的方形外部是圆形，庣旁9厘5毫，面积162寸2 ，深1尺，容积1620寸3 ，容量10斗。斛底铭文：法定标准量器斗，内部是边长1尺的方形外部是圆形，庣旁9厘5毫，面积162寸2 ，深1寸，容积162寸3 ，容量1斗。合、龠的量器上都有文字。升的量器位于斛的量器旁边，合、龠在斛的耳上。量器的背面有赞文，与现今《律历志》上所记相同，魏晋时期常用。现在粗疏地记录了王莽铜斛上的文字、尺寸、分数，但没得到升、合、勺的文字。
按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积。今还元，置此积，以十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即得也。臣淳风等谨依密率，以八十八乘之，为实。七乘囷高为法。实如法而一。开方除之，即周也。
译文
本题原本使周长自乘，乘以高，除以12，得到体积。现在还原，列出体积，乘以12，除以高，即为原本周长自乘所得的值。凡是数自乘，开方后，又恢复原本的数。所以开方，即可求得。李淳风注：依照密率，乘以88，作为被除数。7乘粮仓的高作为除数。被除数除以除数。开方，即为周长。
